向量空间复习

注：本篇适用于复习

向量空间

向量空间及有关概念
- 定义：设V为 $R^{n}$ 的一个非空子集，如果V满足:
  (1)V对加法运算封闭，即V中任意两个向量的和向量仍在V中;
  (2)V对数乘运算封闭，即V中任意向量与任一实数的乘积仍在V中;
  则称V关于向量的线性运算构成实数域上的一个向量空间.
- 定义：设 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{s}$ ∈ $R^{n}$ ，则可以验证由该向量组的所有线性组合得到的向量的集合U={xlx = $k_{1} α_{1}$ + $k_{2} α_{2}$ + …,+ $k_{s} α_{s}$ ∈R}是一个向量空间。称U是由 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{s}$ 所生成的子空间(或称为 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{s}$ 的生成子空间)，记作
  U = Span( $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{s}$ )，其中 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{s}$ 称为U的生成元.
- 设V是向量空间U的一个子集，如果V也是向量空间，则称V是U的子空间.
向量空间的基、维数和坐标
- 定义：设V是一个向量空间， $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{r}$ 是V中的一组向量，如果满足:
  (1) $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{r}$ 线性无关;
  (2)V中的任一向量都可由 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{r}$ 线性表示，
  则称 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{r}$ 是V的一组基，数r称为V的维数，记作 dim(V)=r，并称V是r维向量空间.
- 设V是向量空间， $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{r}$ 是V的一组基，任给α∈V，若有
  则称( $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{r}$ )为α在基 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{r}$ 下的坐标.
基变换与坐标变换*

向量内积与正交化

向量的内积
- 定义：设有n维向量，
  
  定义它们的内积为
  〈α,β〉=$\ a1b_1 $+$ \ a_2b_2 $+ \dots, +$ \ a_nb_n $=$ \stackrel{n}{\sum\limits{i=1}}a_ib_i $由矩阵乘法，有〈 α, β 〉 =$ α^Tβ $=$ β^Tα$.
  向量的内积运算满足以下运算律（内积公理）:
  (1) 交换律〈α,β〉=〈β,α〉;
  (2)对加法的分配律〈α,β+γ〉=〈α,β〉+〈α,γ〉:
  (3)对数乘的结合律〈kα,β〉=〈α,kβ)= k〈α,β〉:
  (4）非负性〈α,α)≥0，当且仅当α=0时等号成立.
- 定义：对于n维向量α=( $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{n}$ ) $^{T}$ ，定义
  
  为向量α的范数（即长度或模）.
  - 定理：向量的范数具有下述性质:
    (1）非负性 $| |$ α $| |$ ≥o;
    (2）齐次性 $| |$ kα $| |$ = $|$ k $|$ $| |$ α $| |$ (k为任意实数);
    (3)柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwartz）不等式 $|$ 〈α,β〉 $|$ ≤ $| |$ α $| |$ $\cdot$ $| |$ β $| |$ ﹔
    (4）三角不等式: $| |$ α+β $| |$ ≤ $| |$ α $| |$ + $| |$ β $| |$ .
- 定义：对n维非零向量α, β ,称
  
  为向量α，β的夹角.
向量的正交性
- 定义：当n维向量α,β满足〈α,β〉= 0时，称α与β正交（或垂直)，记作α⊥β .显然零向量和任何向量都正交，两个非零向量正交当且仅当它们的夹角为 $\frac{π}{2}$
  - 定理：向量α 与β正交 $⟺$ $| |$ α+β $| |^{2}$ ≤ $| |$ α $| |^{2}$ + $| |$ β $| |^{2}$ .
    (勾股定理)
- 定义：当若干非零向量两两正交时，称它们构成的向量组为正交向量组;进一步地，若它们又都是单位向量，则称为标准正交向量组（或正交规范向量组）.
  - 定理：设 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{m}$ 是正交向量组，则 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{m}$ 线性无关.
施密特正交化
- 定义：若 $R^{n}$ 的一个基 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{n}$ 是一个正交向量组，则称它们是 $R^{n}$ 的一个正交基，进一步，如果 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{n}$ 是标准正交向量组，则称它们是 $R^{n}$ 的一个标准正交基.

线性方程组的解空间

齐次线性方程组的基础解系
- 齐次方程组AX = 0的解向量集合记作
  
  由于 $\overset{―}{A}$ =(A $⋮$ 0)，故恒有 $\overset{―}{r}$ =r( $\overset{―}{A}$ )=r(A)=r，也就是说，齐次方程组必定有解，因此解集X $_{A}$ 非空，对于解集X $_{A}$ 的秩，有如下的重要定理（秩零度定理）：
  对于n元齐次线性方程组AX = 0，系数矩阵的秩和解集的秩满足
- 定义：齐次线性方程组AX = 0的解集X$A $的一个极大无关组$ \ \xi_1 $,$ \ \xi_2 $, \dots,$ \ \xi{n-r}$称为AX = 0的一个基础解系.
  (特别若r =n，方程组只有唯一零解，从而X $_{A}$ ={0}.此时AX = 0没有基础解系，因此R(X $_{A}$ )=0，亦满足R(X $_{A}$ )+R(A)=n)
齐次线性方程组的解空间
- 对m×n齐次线性方程组AX = 0，它的解集记作
  X $_{A}$ ={X|X∈R $^{n}$ ,AX = 0}
- 对于齐次线性方程组AX = 0，其解具有如下性质:
  - 性质1:若AX $_{1}$ = 0，AX $_{2}$ = 0，则A(X $_{1}$ +X $_{2}$ ) = 0 .
  - 性质2:若AX $_{1}$ = 0(k ≠0)，则A(kX $_{1}$ ) = 0.
非齐次线性方程组的解集
- 非齐次线性方程组AX=β有解时，将它的所有解向量构成的集合称为这个非齐次方程组的解集，记作
  X $_{\overset{―}{A}}$ ={X|X∈R $^{n}$ ,AX=β}
  非齐次方程组AX=β (β≠0）对应的齐次方程组AX=0常常被称为它的导出方程组（简称导出组).
  - 性质1:若AX $_{1}$ = β，AX $_{2}$ = β，则A(X $_{1}$ -X $_{2}$ ) = 0 .
  - 性质2:若AX $_{1}$ = β，AX = 0，则A(X $_{1}$ +X $_{2}$ ) = β .
- 定理：设m×n线性方程组AX=β有解，若导出组AX = 0的基础解系为$\ \xi1 $,$ \ \xi_2 $, \dots,$ \ \xi{n-r} $，而$ \eta$是AX=β的一特解，则AX=β的通解为