矩阵的初等变换复习

注：本篇适用于复习

初等变换

若矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称矩阵A与B等价（≠相等），记作A↔B

性质:

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.
- 对调单位阵的两行（列）；——交换初等阵（初等对换矩阵）
  - 由单位矩阵E交换第i行（列）与第j行（列）得到的矩阵
- 以常数k≠0乘单位阵的某一行（列）；——倍乘初等阵（初等倍乘矩阵）
  - 由单位矩阵E的第i行（列）乘数k（≠0）得到的矩阵
- 以k乘单位阵的某一行（列）加到另一行（列) 。——倍加初等阵（初等倍加矩阵）
  - 由单位矩阵的第j行乘以数k加到第i行上得到的矩阵（行变换的角度）
- 初等矩阵的逆矩阵
结论

设A是一个m×n矩阵，
对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;
对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
定理
1. mxn矩阵可以经过若干次初等变换化为如下形式的矩阵：
  
  即存在初等矩阵P₁，P₂，…，Ps和Q₁，Q₂，…，Qt使
2. 设A为可逆方阵，则A经有限次初等变换可化为单位矩阵，且A可表示成有限个初等矩阵的乘积。
  - 推论1：方阵A可逆的充要条件是
  - 推论2：矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.

第一个式子用于求解矩阵的逆，第二个式子用于求解AX=B形的方程（均通过行变换实现）

（注意下面的式子都是用等号连接的，式子本身并没有进行初等变换）

列变换求解XA=B形的方程同理

在m×n矩阵A中，任取k行k列(1≤k≤min{m，n})，位于这些行列交叉处的k²个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.
显然，m×n矩阵的k阶子式共有(mCk*nCk)个.
设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r +1阶子式(如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩，记作R(A).
规定:零矩阵的秩等于零.
- 根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r +2阶子式(如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示.
- 如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．
- 事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零.
  因此矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数.

若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则R(A)≥s ;
若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)<t 即R(A)≤t-1.
若A为n阶矩阵，则A的n阶子式只有一个，即|A|.
- 当|A|≠0时，R(A)=n ;
  可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵.
- 当A=0时，R(A)<n ;
  不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵.
若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m, n) .
矩阵转置不改变矩阵的秩（符号打不出来QAQ）
R($\ A^T$) = R(A)
若P、Q可逆，则R(PAQ)= R(A)
若λ≠0,则R(λA)=R(A).
max{R(A),R(B)}≤R(A, B)≤R(A)+R(B) .
特别地，当B=b为非零列向量时，有
R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1 .
R(A+B)≤R(A)+R(B).(关于“和”)
R(AB)≤min{R(A),R(B)}.(关于“乘”)
若AmxnBnx1=0，则R(A)+R(B)≤n .

利用初等行变换求解（详细步骤见左边目录1.1）

使用格式举例：

$\overline{A}$

找矩阵转置的符号没找到采取的是右上角标的形式

$\ A^T$